Millón de dólares por resolver los problemas del milenio

¿Quieres ser millonario? Si tu respuesta fue que sí, existe una manera de hacerlo. En el año 2000, el Instituto Clay de Matemáticas de Cambridge anunció los Problemas del Milenio, cuya resolución es premiada con un millón de dólares. Éstos fueron una colección de siete de los problemas matemáticos más importantes que siguen sin resolverse, a excepción de uno.

Muchas personas afirman haber resuelto los problemas más grandes de la física y las matemáticas (y con frecuencia envían sus ideas por correo electrónico a físicos y periodistas científicos), pero pocas de esas soluciones se mantienen bajo escrutinio.

Hasta ahora, solo uno ha sido resuelto de manera oficial. La conjetura de Poincaré, fue solucionada oficialmente por el matemático ruso Grigori Perelman en 2006, quien sorprendió al rechazar el premio tras asegurar que no era ningún héroe ni quería ser expuesto de manera masiva. Este problema era considerada una de las hipótesis matemáticas más importantes y difíciles de demostrar.

El pasado mes de septiembre, el matemático Michael Atiyah aseguró haber resuelto el problema de la “hipótesis de Riemann” al encontrar una fórmula con la que se puede predecir el siguiente número primo dentro de una serie de cifras. Sin embargo, tomará tiempo para que la comunidad matemática evalúe las afirmaciones de Atiyah.

Mientras los resultados se dan a conocer, te contamos cuáles son los seis problemas del milenio que aún faltan por resolver. ¡Así que buena suerte!

1. El problema de P frente a NP

“P frente a NP” aspira a demostrar o refutar la creencia de que hay problemas para los que, por su complejidad, es más difícil encontrarles una solución que comprobar si esa solución es correcta.

Los problemas P (polinómicos) son los que se pueden resolver en un tiempo razonable. Los problemas NP (no deterministas en tiempo polinómico) son aquellos que, aunque sea difícil encontrarles solución, una vez hallada se puede comprobar en un tiempo razonable que es correcta .

Si se puede encontrar fácilmente una solución, esta también se podrá verificar de manera sencilla, por lo que todo problema P es también NP. Lo que se desconoce es si hay algún problema NP que no sea P. Los expertos confían en que así sea, pero de momento nadie ha sido capaz de demostrarlo.

2. La hipótesis de Riemann

La hipótesis de Riemann rodea un objeto matemático llamado función zeta de Riemann. Fue estudiado por primera vez por el famoso matemático Leonhard Euler en números reales solamente; Bernhard Riemann luego lo extendió a números complejos y estudió las consecuencias. Si recuerdas algo de álgebra, hay una rama completa de las matemáticas que rodean los números complejos, que incluyen los números reales y los números imaginarios, o los multiplicados por i, la raíz cuadrada del negativo.

La función zeta toma uno de estos números complejos y arroja otro número. Riemann formuló la hipótesis, pero no probó, de que esta función devolvería un valor de “cero” sólo si se conecta un número par negativo (-2, -4, etc.) o ciertos números complejos cuya parte real era ½, como ½ + 14.134725 i.

3. La conjetura de Hodge

La respuesta a esta conjetura determina qué parte de la topología del conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones algebraicas se puede definir en términos de otras ecuaciones algebraicas. La conjetura de Hodge se conoce en ciertos casos especiales, por ejemplo, cuando el conjunto de soluciones tiene una dimensión inferior a cuatro. Pero en la dimensión cuatro se desconoce.

Algunos matemáticos aseguran que este problema es el más difícil de explicar al público en términos que no resulten demasiado técnicos. En concreto, la conjetura dice que todo ciclo de Hodge es combinación racional de ciclos algebraicos.

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4. Teoría de Yang-Mills y la brecha de masa cuántica

Uno de los fundamentos principales de la mecánica cuántica moderna es la teoría de Yang-Mills, que describe el comportamiento cuántico del electromagnetismo y las fuerzas nucleares débiles y fuertes en términos de estructuras matemáticas que surgen en el estudio de simetrías geométricas. Las predicciones de la teoría de Yang-Mills han sido verificadas por innumerables experimentos, y la teoría es una parte importante de nuestra comprensión de cómo se forman los átomos.

Un problema particular de interés es la “brecha de masas“, que requiere que ciertas partículas subatómicas, que de alguna manera son análogas a los fotones sin masa, en realidad tengan una masa positiva.

El problema consiste en determinar de manera rigurosa la existencia de una teoría de Yang-Mills cuántica que pueda explicar este fenómeno. Es decir, si todas las partículas de esta teoría (los gluones) tienen masa o no, y tener una explicación matemática para la brecha de masas.

5. Las ecuaciones de Navier-Stokes

Las ecuaciones de Navier-Stokes describen cómo evolucionará el flujo de un líquido o un gas en diversas condiciones, como lo son la atmósfera terrestre, las corrientes del océano o el flujo alrededor de vehículos o proyectiles.

Así como la segunda ley de Newton proporciona una descripción de cómo la velocidad de un objeto cambiará bajo la influencia de una fuerza externa, las ecuaciones de Navier-Stokes describen cómo la velocidad del flujo de un fluido cambiará bajo fuerzas internas como la presión y la viscosidad, así como en el exterior Fuerzas como la gravedad.

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un sistema de ecuaciones diferenciales. Físicamente, los fluidos pueden mostrar un comportamiento caótico y turbulento: el humo que sale de una vela o un cigarrillo tiende a fluir inicialmente de manera suave y predecible, pero rápidamente se convierte en vórtices y verticilos impredecibles.

Lo que no existe es una explicación detallada de cómo un fluido pasa de tener un flujo regular a uno turbulento.

6. Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer

Esta conjetura une geometría algebraica y teoría de números, pide estudiar las soluciones racionales a ecuaciones que definen una curva elíptica. Las curvas algebraicas se clasifican según su género, siendo las más sencillas las de género cero o curvas racionales (que tienen ninguna o infinitas soluciones racionales).

El problema, está en demostrar un criterio que distinga qué curvas de género 1 (también llamadas elípticas) tienen un número finito o infinito de soluciones racionales.

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